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江苏省南通市2010届高三第二次模拟考试文科数学

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南通市 2010 届高三第二次模拟考试 数 学
一、填空题:请把答案填写在答题卡相应的位置上.本大题共 14 小题。每小题 5 分,共 70 分. 1.命题“ ?x ? (0,

π
2

) ,tanx>sinx”的否定是 ________________

2.已知复数 z1 = m + 2i.z2 = 3 ? 4i若

z1 为实数,则实数 m 的值为________ z2

3.曲线 y=2x—lnx 在点(1,2)处的切线方程是 ________ ,AB=1,BC=2.在 BC 边上任取一点 M, ∠ AMB ≥ 90。的 4.在 Rt△ABC 中, ∠ A=90。 概率为__________ 5.某算法的伪代码如下:

则输出的结果是__________ . 6.设全集 U=R,A= ? x |

? ?

? x?2 3? ? p 0 ? , B = ? x | sin x ≥ ? , 则 A I B=________. ? ? x +1 2 ? ? ?

7.设 l.m 表示两条不同的直线, α 表示一个平面,从上“ , ⊥ ”中选择适当的符号填入下列 空格,使其成为真命题,即

} ? l ___ α l ___ m

l __ m

2n ? 1, x > 0, 8.已知函数 f ( x) = { 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m ? x ? 2 x, x ≤ 0
的取值范围_______ 9.设圆 x 2 + y 2 = 1 的一条切线与 x 轴、Y 轴分别交于 A、B 两点,则线段 AB 长度的最小值 为________ 10.将正偶数按如下所示的规律排列: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 则第 n(n>=4)行从左向右的第 4 个数为_______ 11.已知函数 f(x)=Asin(? x + ? )(A>0,w>0) 的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐

标分别是 2,4,8,则函数 f(x)的单调递增区间是______ 12.A、B 是双曲线 C 的两个顶点,直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P,Q,且与实轴垂直 ,则双曲线 C 的离心率 e=______ 13.如图,正六边形 ABCDEF 中,P 是 △CDE 内(包括边界)的动点. 设 的取值范围是 _____

14.设函数 f ( x ) = x ? ax + 3, g ( x ) = ax ? 2a 若存在知 x0 ∈R,使得 f(x)<O 与
2

g(x。)<O 同时成立,则实数 a 的取值范围是 ____

二、解答题:本大题共 6 小题。共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明证明或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,点 F 为 A1 D 的中点. (1)求证:AB∥平面 AFC; (2)求证:平面 A1 B1CD ⊥ 平面 AFC.

16.(本小题满分 14 分) ‘ 已知向量 a=(cosa,sina),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),其中 0 < α < x < π . (1)若 α =

π

4

,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值;

(2)若 a 与 b 的夹角为

π
3

,且 a ⊥ c,求 tan2a 的值

17.(本小题满分 15 分) 设等比数列 {α n } 的首项为 a1 ,公比为 q,且 q>0,q≠1. (1)若 a1 = q ,m∈z,且 m≥一 1,求证:数列中任意不同的两项之积仍为数列 {α n } 中
m

的项; (2)若数列 {α n } 中任意不同的两项之积仍为数列 {α n } 中的项,求证:存在整数 m,且 m ≥一 l,使得 a1 = q
m

18.(本小题满分 15 分) 平面直角坐标系 xoy 中,已知以 M 为圆心的 点其中 c>O. (1)求 M 的标准方程(用含 c 的式子表示); (2)已知椭圆 M 经过 F1 (0, ?c), F2 (0, ?c), A( 3c, 0) 三

y 2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) (其中 a 2 ? b 2 = c 2 )的左、右顶点分别为 D、B, M 2 a b

与 x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、0、C、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 ,与直线

DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.

19.(本小题满分 16 分) 如图所示的自动通风设施,其下部 ABCD 是等腰梯形,其中高为 0.5 米,AB=1 米, CD=2a( a >

1 )米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中点.△EMN 是由电脑控制其形 2

状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆, (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米)表示成 x 的函数 S=f(x); (2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出这个 最大面积.

20.(本小题满分 16 分) 设函数, f ( x ) =

1 4 x + bx 2 + cx + d , 当x = t1时 有极小值. 4

(1)若 b=---6 时,函数 f(x)有极大值,求实 数 c 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若存在 c,使函数 f(x)在区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数 m 的 取值范围; (3)若函数 f(x)只有一个极值点,且存在 t 2 ∈ (t1 , t1 + 1)使f (t 2 ) = 0 证明:函数 g(x)= t 2 ∈ (t1 , t 2 )使f ( x ) ?

1 2 x + t1 x 2

在区间 (t1 , t 2 ) 内最多有一个零点.

附加题部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟)

21.(选做题)在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.请在 答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长 线相交于点 P,E 为 O 上一点,AE=AC,DE 交 AB 于点 F。求证:△PDF∽△POC.

B.选修 4—2:矩阵与变换 若点 A(2,2)在矩阵 M= ? 阵 M 的逆矩阵.

?cos a ? sin a ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(一 2,2),求矩 ? sin a cos a ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 0 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线-

x = 4t 2 π C1 : ρ COS (θ + ) = 2 2 与曲线 C2 :{ (t∈R)交于 A、B 两点.求证:0A 上 0B. 4 y = 4t

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x,y,z 均为正数.求证:

x y z 1 1 1 + + ≥ + + yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题,第 23 题;每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ’

22.(本小题满分 10 分) 一个暗箱中有大小相同的 3 只白球和 2 只黑球共 5 只球,每次从中取出一只球,取到白 球得 2 分,取到黑球得 3 分.甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球. (1)写出甲总得分 ξ 的分布列; (2)求甲总得分 ξ 的期望 E( ξ )

23.(本小题满分 10 分) 设数列{ an }满足 a1 = a, am +1 = an + a1 , M = {a ∈ R | n ∈ N , an ≤ 2}
2 ?

(1)当 a∈(一∞,-2)时,求证:a ? M; (2)当 a∈(0, (3)当 a∈(

1 ),求证:a∈M; 4

1 ,+oo)时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论 4 数学参考答案及评分建议 必做题部分

【填空题答案及解析】

π π π 1. x ∈ (0, ) , x ≤ sin x 【解析】 “ ?x ∈ (0, ) , x > sin x ” . ? tan tan 命题 的否定是 ?x ∈ (0, ) , “ 2 2 2
tan x ≤ sin x ” 。本题考查了命题的否定问题,属于基础题。

2. ?

3 2

【解析】因为

z1 m + 2i (m + 2i )(3 + 4i ) (3m ? 8) + (6 + 4m)i = = = 为实数,所以 z2 3 ? 4i (3 ? 4i )(3 + 4i ) 25

3 6 + 4m = 0 ,解得 m = ? 。本题考查了复数的分式运算以及复数的概念,属于基础运算题 2 1 1 3. x ? y + 1 = 0 【解析】由 y ' = (2 x + ln x ) ' = 2 ? ,当 x = 1 可得 k = 2 ? = 1 ,即得在 x 1
点 (1, 2) 处的切线方程是 y ? 2 = x ? 1 ,即 x ? y + 1 = 0 。本题考查了导数的几何意义问题,属 于基础概念题

4.

1 4

【解析】如图所示,过 A 点做 AN ⊥ BC 于点 N,则当点 M 在线段 BN 上时,满足

∠AMB ≥ 90o , 所 以 在 BC 边 上 任 取 一 点 M , ∠AMB ≥ 90o 的 概 率 为
P= BN AB cos B cos 60o 1 = = = 。本题考查了几何概型问题。要注意此题中的动点在线段 BC BC 2 4

上,因而概率值为线段的长度之比而不是角度之比。

5



50 101































1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +L + = (1 ? + ? + ? + L + ? ) = × (1 ? 1 ? (1 + 2) 3 ? (3 + 2) 5 ? (5 + 2) 99 ? (99 + 2) 2 3 3 5 5 7 99 101 2 101
。本题考察了算法的伪代码及其循环结构语言表示的问题,要注意该算法的终止条件及最后 一项的赋值。 6. [

π
3

, 2)

【解析】由已知条件可得 A = ( ?1, 2) , B = [2kπ +

π
3

, 2 kπ +

A I B = [ , 2) 。本题考查了不等式的解法以及集合交集的运算问题,要注意理解校对的范围 3
仍然是实数集。 7.∥,⊥,⊥ 【解析】若 l // m , l ⊥ α ,则 m ⊥ α 。本题考查了空间直线与平面、直线 与直线、直线与平面垂直于平行的递推关系问题,具有一定的开放性。 8. (0,1) 【解析】函数 f ( x ) = ?

π

2π ], k ∈ Z ,所以 3

? x ?2 ? 1 2 ?? x ? 2 x ?

x>0 x≤0

的图像如图所示,该函数的图像与直线

y = m 有三个交点时 m ∈ (0,1) , 此时函数 g ( x ) = f ( x ) ? m 有 3 个零点。 本题考查了利用数形
结合发判断函数零点的个数问题,准确作出函数的图像时解答此类问题的关键。 9.2 【 解 析 】 设 直 线 AB 的 方 程 为

x y + = 1 , 此 直 线 与 圆 x2 + y 2 = 1 相 切 , 则 有 a b
2 2

d=

a2 + b2 2 2 = = 1 ,即得 a + b = ab ≤ ,解得 AB = a + b ≥ 2 , 2 2 2 1 1 a +b + 2 2 a b 1 ab

即线段 AB 长度的最小值为 2。本题考查了直线与圆的位置关系及基本不等式的应用问题,灵 活选择变量及公式可以迅速解决最值问题。 10 . n ? n + 8
2

【 解 析 】 由 此 数 表 可 得 第 n 行 第 一 个 数 为

2 × [1 + 2 + 3 + L + (n ? 2) + (n ? 1) + 1] = (n ? 1)n + 2 = n 2 ? n + 2 , 则 第 4 行 个 数 为 n 2 ? n + 2 + 3 × 2 = n 2 ? n + 8 。本题考察了数表与数阵的问题。此类信息题需要通过数表的规
律找出其他特征信息,利用其特殊归纳性、类比数列的通项,从而推理得结论。 11. [6k , 6k + 3]( k ∈ Z ) 【解析】因为函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的图像与直

线 y = b(0 < b < A) 的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8, 所以函数 f ( x ) 有两条相邻对称轴

x = 3, x = 6 ,即得此函数的周期为 2 × (6 ? 3) = 6 ,且此周期内在区间 [3, 6] 内必为减函数,
在区间 [0, 3] 上为增函数,由此可得 f ( x ) 的单调递增区间是 [6k , 6k + 3]( k ∈ Z ) 。本题考察了 三角函数的图像及其性质。借助于已知图像的信息条件,将该函数图像对称轴找出,可以简

化思维过程,也可以先求得该解析式再进行求单调区间。 12. 2 【解析】 如图所示, 设双曲线方程为

x2 y2 ? = 1, 取其上一点 P ( m, n) , Q ( m, ?n) , 则 a2 b2
m2 n2 m2 n2 ? 2 = 1 ,带入 2 ? 2 = 1 a2 a a b

由 PB ? AQ = 0 ,可得 (a ? m, ? n) ? ( m + a, ? n) = 0 ,简化得 可得 b = a ,即此双曲线的离心率为 e =

uuu uuur r

2 。本题考查了双曲线的几何性质及其曲线性质的

探究问题。利用已知条件中的向量关系可在双曲线上找出满足条件的信息,根据此信息即可 找出双曲线基本量的关系,从而求得离心率的值。 13.[3,4] 【解析】建立如图所示的直角坐标系,设正六边形的边长为 2,则 C (2, 0) ,

A(?1, ? 3) , B (1, ? 3) , D (1, 3) , E (?1, 3) , F (?2, 0) , 设 P ( x, y ) 可 得

uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r AP = ( x + 1, y + 3) , AB = (2, 0) , AF = (?1, 3) , Q AP = α AB + β AF ,

? x + 1 = 2α + β , x +1+ 3y + 3 1 3 ? 则α + β = = x+ y + 2 ,当点 P 在如图阴影部分所 ∴? 2 2 2 ? y + 3 = 3β , ?
示的平面区域内时,可作平行直线系

1 3 x+ y + 2 = z ,当直线过点 E 或 C 时,α + β 取得 2 2

最 小 值 , (α + β )最小值 =

1 3 ×2+ ×0 + 2 = 3 ;当直线过点 D 时, α + β 取最大值, 2 2

1 3 (α + β )最大值 = ×1 + × 3 + 2 = 4 ,则 α + β 的取值范围是 [3, 。本题考查了平面向量 4] 2 2
的基本定理及线性规划问题。本题借助于线性规划知识将复杂的问题化归为常见的数学模型 进行求解,体现了数学命题的灵活性。 14. (7,+∞) 【解析】当 a = 0 时, g ( x ) = 0 ,不存在 g ( x ) < 0 ;当 a < 0 时, ,由

g ( x) = ax ? 2a 单 调 递 减 且 过 点 (2, 0) 知 当 x > 2 时 g ( x) = ax ? 2a < 0 , 而 x > 2 时 f ( x) > 7 ? a > 0 ,不存在 f ( x) < 0 ;当 a > 0 时, g ( x) = ax ? 2a 单调递减且过点 (2, 0) 知当 x > 2 时 g ( x) = ax ? 2a < 0 ,则命题转化为不等式 x 2 ? ax + a + 3 < 0 在 (?∞, 2) 上有解,若
a a a2 < 2即0 < a < 4 , 此时需要满足 f ( ) = ? +a+3< 0, 解得 a > 6(舍去) a < ?2(舍 或 2 2 4
去) ;若

a ≥ 2 即 a ≥ 4 ,此时满需足 f (2) = 7 ? a < 0 ,解得 a > 7 。综上可得实数 a 的取值 2

范围是 (7, +∞ ) 。本题考查了存在性命题的探究,体现了推理与证明问题中分类讨论思想及数 形结合思想方法的灵活应用。 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) . A1 D1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. B1 (1)求证:A1B∥平面 AFC; C F 1 (2)求证:平面 A1B1CD ⊥ 平面 AFC. 证明: (1)连接 BD 交 AC 于点 O, 连接 FO,则点 O 是 BD 的中点. A D ∵点 F 为 A1D 的中点,∴A1B∥FO.……4 分 又 A1 B ? 平面 AFC, FO ? 平面 AFC,
B C
(第 15 题)

∴A1B∥平面 AFC. …………………………………………………………7 分 (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 B1D. ∵AC⊥BD,AC⊥BB1,∴AC⊥平面 B1BD,AC⊥B1D.…………………9 分 又∵CD⊥平面 A1ADD1, AF ? 平面 A1ADD1,∴CD⊥AF. 又∵AF⊥A1D,∴AF⊥平面 A1B1CD. ……………………………………12 分 ∵AC⊥B1D,∴B1D⊥平面 AFC. 而 B1D ? 平面 A1B1CD,∴平面 A1B1CD ⊥ 平面 AFC.……………………14 分 16. (本小题满分 14 分) . sin sin cos 已 知 向 量 a = ( cos α, α ),b = ( cos x, x ),c = ( sin x + 2sin α, x + 2cos α ) , 其 中
0 <α < x < π. π (1)若 α = ,求函数 f ( x) = b ? c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

解: 1)∵ b = ( cos x, sin x ) , c = ( sin x + 2sin α , cos x + 2 cos α ) , α = (

π , 4 ∴ f ( x) = b ? c = cos x sin x + 2 cos x sin α + sin x cos x + 2 sin x cos α = 2sin x cos x + 2(sin x + cos x) .………………………………………2 分

令 t = sin x + cos x(0 < x < π) ,则 2sin x cos x = t 2 ? 1 ,且 ?1 < t ≤ 2 .
则 y = f ( x) = t 2 + 2t ? 1 = (t + ∴t = ? 2 2 3 ) ? , ?1 < t ≤ 2 . 2 2

2 3 2 时, ymin = ? ,此时 sin x + cos x = ? .………………………5 分 2 2 2 11π 由于 0 < x < π ,故 x = . 12 3 11π 所以函数 f ( x) 的最小值为 ? ,相应 x 的值为 . ………………………7 分 2 12 (2) ∵a 与 b 的夹角为

π , 3

∴ cos s

a ?b π = = cos α cos x + sin α sin x = cos( x ? α ) .……………………9 分 3 | a |?| b |

∵ 0 < α < x < π ,∴ 0 < x ? α < π ,∴ x ? α =

π . 3 ∵a⊥c,∴ cos α (sin x + 2sin α ) + sin α (cos x + 2cos α ) = 0 .

π ∴ sin( x + α ) + 2sin 2α = 0 , sin(2α + ) + 2sin 2α = 0 . ……………………12 分 3 5 3 3 ∴ sin 2α + cos 2α = 0 ,∴ tan 2α = ? .………………………………14 分 2 2 5 17. (本小题满分 15 分) .

设等比数列 {an } 的首项为 a1,公比为 q,且 q>0,q≠1. (1)若 a1=qm,m∈Z,且 m≥-1,求证:数列 {an } 中任意不同的两项之积仍为数列 {an } 中的项; (2)若数列 {an } 中任意不同的两项之积仍为数列 {an } 中的项,求证:存在整数 m,且
m≥-1,使得 a1=qm.

证明: 1)设 ar , at 为等比数列 {an } 中不同的两项,由 a1 = q m , ( 得 ar ? at = a1q r ?1 ? a1q t ?1 = a1 ? q ( r + t + m ?1) ?1 .………………………………………2分 又 r + t ≥ 3 ,且 m ≥ ?1 ,所以 r + m + t ? 1≥ 1 .
所以 ar , at 是数列 {an } 的第 r + m + t ? 1 项. …………………………………6分 (2)等比数列 {an } 中任意不同两项之积仍为数列 {an } 中的项, 令 as ? at = al (l , t , s ∈ N* , t ≠ s ) ,由 as = a1 ? q s ?1 , at = a1 ? q t ?1 , al = a1 ? q l ?1 , 得 a1 ? q s ?1 ? ?a1 ? q
t ?1

= a1 ? q l ?1 , a1 = q l ? s ?t +1 .

令整数 m = l ? s ? t + 1 ,则 a1 = q m .…………………………………………9分 下证整数 m ≥ ?1 . 若设整数 m < ?1 ,则 ? m ≥ 2 .令 k = ?m , 由题设,取 a1 , ak ,使 a1 ? ak = ar (r ∈ N* ) , 即 a1 ? a1 ? q k ?1 = a1 ? q r ?1 ,所以 q m ? q ? m ?1 = q r ?1 ,即 q ?1 = q r ?1 .……………12分 所以 q>0,q≠1, ?1 = r ? 1 , r = 0 与 r ∈ N* 矛盾! 所以 m ≥ ?1 .…………………………………………………………………15 分 18. 本小题满分 15 分) ( 平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙M 经过点 F1(0,-c) F2(0,c) A( 3 c,0)三点, , ,

其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示) ; (2)已知椭圆

y 2 x2 + = 1(a > b > 0) (其中 a 2 ? b 2 = c 2 )的左、右顶点分别为 D、B, a2 b2 ⊙M 与 x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、O、C 、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 与直线 DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不 是,请说明理由.

解: (1)设⊙M 的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,
? 2 3 c, ?D = ? ? c 2 ? Ec + F = 0, 3 ? ? ? 则由题设, ? c 2 + Ec + F = 0, 解得 ? E = 0, 得 ? 2 ? F = ?c 2 . ?3c + 3Dc + F = 0. ? ? ?

………………………3 分

⊙M 的方程为 x 2 + y 2 ? ⊙M 的标准方程为 ( x ?

2 3 cx ? c 2 = 0 , 3 3 2 4 c) + y 2 = c 2 . …………………………………5 分 3 3 3 c,0) ,又 B (b,0) , D (?b,0) , 3

(2)⊙M 与 x 轴的两个交点 A( 3c, 0) , C (?

? 3c > b, ? 3c > b, ? 3c 2 > a 2 ? c 2 , ? ? ? 由题设 ? 3 即? 3 所以 ? 1 2 ………………………7 分 2 2 c > ?b, ?? ? c < b. ? c <a ?c . ?3 ? 3 ? 3

解得

1 c 3 1 3 < < ,即 <e< . 2 a 2 2 2

1 3 所以椭圆离心率的取值范围为 ( , ). ………………………………………10 分 2 2

(3)由(1) ,得 M ( ∴b =

3 3 3 c,0) .由题设,得 3c ? b = b ? c= c. 3 3 3

2 3 2 3 c , D (? c, 0) . 3 3 x y ∴直线 MF1 的方程为 ? =1, c 3 c 3



直线 DF2 的方程为 ?

x 2 3 c 3

+

y =1. c

②…………………………………13 分

由①②,得直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q(

4 3 3 3 c,3c) ,易知 k OQ = 为定值, 3 4

∴直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q 在定直线 y =

3 3 x 上.…………………15 分 4

19. . (本小题满分 16 分) 如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰 梯形,其中 AB=1 米,高 0.5 米,
CD=2a(a>
1 )米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中点.△EMN 是由电脑控 2

制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) MN 是可以沿设施边框上下滑动且始 , 终保持和 CD 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米)表 示成关于 x 的函数 S = f ( x ) ; (2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出这 个最大面积. m m M N

D M A

E N B

C

D A

E B

C

(第 19 题)

解: 1) ( (一) 0 ≤ x <

1 MN ? 1 x 时,由平面几何知识,得 = . 1 2a ? 1 2 2

∴ MN = 2(2a ? 1) x + 1 , S = f ( x ) = ?(2a ? 1) x 2 + (a ? 1) x + (二)

1 . 4

……………3 分

1 1 1 1 1 1 1 < x < a + 时, S = f ( x ) = ? 2 a 2 ? ( x ? ) 2 ? ( x ? ) = a 2 ? ( x ? )2 ? ( x ? ) , 2 2 2 2 2 2 2
1 1 ? 2 ? ?(2a ? 1) x + (a ? 1) x + 4 , x ∈ [0, 2 ), ? ∴ S = f ( x) = ? ………………………… …… 5 分 ? a 2 ? ( x ? 1 ) 2 ? ( x ? 1 ), x ∈ ( 1 , a + 1 ). ? 2 2 2 2 ?

(2) (一) 0 ≤ x <

1 1 时, S = f ( x ) = ? (2a ? 1) x 2 + (a ? 1) x + . 2 4 a ?1 1 ?a a ?1 1 1 ∵ a > ,∴ ? = < 0 ,∴ < . 2(2a ? 1) 2 2(2a ? 1) 2(2a ? 1) 2 2


1 1 < a ≤ 1 ,当 x = 0 时, [ f ( x)] max = f (0) = . 2 4
a ?1 a ?1 a2 时,[ f ( x)] max = f [ ]= .……………7 分 2( 2a ? 1) 2(2a ? 1) 4(2a ? 1)

② a > 1 ,当 x =

(二)

1 1 < x < a + 时, 2 2

S = f ( x) =

1 1 1 1 1 ? 2 a 2 ? ( x ? ) 2 ? ( x ? ) = a 2 ? ( x ? )2 ? ( x ? ) 2 2 2 2 2

1 1 = ( x ? ) 2 [a 2 ? ( x ? )2 ] ≤ 2 2
1 2

1 1 ( x ? ) 2 + [a 2 ? ( x ? )2 ] 2 2 = 1 a2 , 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2

等号成立 ? ( x ? )2 = a 2 ? ( x ? ) 2 ? x = ( 2a + 1) ∈ ( , a + ) . ∴ 当x = ( 2a + 1) 时,[ f ( x)] max =
A.
1 2

a2 .…………………………………………10 分 2

1 a2 1 1 2 2 )(a ? ), < a ≤ 1 时,∵ ? = (a + 2 2 4 2 2 2 1 2 1 < a≤ 时.当 x = 0 , [ f ( x)] max = f (0) = , 2 2 4



2 a2 1 .……………………………12 分 < a ≤ 1 时,当 x = ( 2a + 1) , [ f ( x)] max = 2 2 2

1 a2 4a ? 3 2 B. a > 1 时, a 2 ? = a >0. 2 4(2a ? 1) 4(2a ? 1) a2 1 当 x = ( 2a + 1) 时, [ f ( x)] max = .……………………………………………14 分 2 2 1 2 1 综上, < a ≤ 时,当 x = 0 时,[ f ( x)] max = f (0) = ,即 MN 与 AB 之间的距离 2 2 4

为 0 米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为

1 2 平方米. a > 时,当 4 2

1 a2 1 x = ( 2a + 1) 时,[ f ( x)] max = , 即 MN 与 AB 之间的距离为 x = ( 2a + 1) 米时,三 2 2 2 1 角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为 a 2 平方米.………………………16 分 2

20. 本小题满分 16 分) ( 1 设函数 f(x)= x4+bx2+cx+d,当 x=t1 时,f(x)有极小值. 4
(1)若 b=-6 时,函数 f(x)有极大值,求实数 c 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若存在实数 c,使函数 f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调 递增,求实数 m 的取值范围; (3)若函数 f(x)只有一个极值点,且存在 t2∈(t1,t1+1) ,使 f ′(t2)=0,证明:函 数 g(x)=f(x)-
1 2 x +t1x 在区间(t1,t2)内最多有一个零点. 2

1 解: 1)因为 f(x)= x4+bx2+cx+d,所以 h(x)=f ′(x)=x3-12x+c.……2 分 ( 4

由题设,方程 h(x)=0 有三个互异的实根. 考察函数 h(x)=x3-12x+c,则 h ′(x)=0,得 x=±2.

x h ′(x)

(-∞,-2) +

-2
0

(-2,2) -

2 0

(2,+∞) +

h(x)



c+16 (极大值)



c-16( 极小值)



?c + 16 > 0, 所以 ? 故-16<c<16. ………………………………………………5 分 ?c ? 16 < 0.

(2)存在 c∈(-16,16) ,使 f ′(x)≥0,即 x3-12x≥-c, (*) 3 所以 x -12x>-16, 即(x-2)2(x+4)>0(*)在区间[m-2,m+2]上恒成立. …………7 分 所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.
? m ? 2 > ?4, 所以 ? 或 m-2>2,即-2<m<0,或 m>4. ………………………9 分 ? m + 2 < 2,

(3)由题设,可得存在α,β∈R,使 ( , f ′(x)=x3+2bx+c=(x-t1) x2+αx+β) 2 且 x +αx+β≥0 恒成立. …………………………………………………11 分 又 f?(t2)=0,且在 x=t2 两侧同号, 所以 f?(x) =(x-t1) x-t2)2. …………………………………………13 分 ( 另一方面, g ′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c =x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)(x-t2)2-1] [ . 因为 t1 < x < t2,且 t2-t1<1,所以-1< t1-t2 < x-t2 <0. 所以 0<(x-t2)2<1,所以(x-t2)2-1<0. 而 x-t1>0,所以 g ′(x)<0,所以 g(x)在(t1,t2)内单调减. 从而 g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点.…………………………………16 分

附加题部分
21. . 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题 卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲[来源:Zxxk.Com] . 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 C D 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC.
E 证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC,………………………3 分 又∠CDE=∠P+∠PDF,∠AOC=∠ P+∠OCP, F B · 从而∠PDF=∠OCP.………………………………8 分 A O D 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P,∠PDF=∠OCP, C (第 21-A 题) 故△PDF∽△POC.…………………………………10 分

P

B.选修 4-2 矩阵与变换 .

?cos α 若点 A(2,2)在矩阵 M = ? ? sin α

? sin α ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2,2) , cos α ? ?

求矩阵 M 的逆矩阵.
? 2 ? ? ?2 ? ? 2 cos α ? 2 sin α ? ? ?2? 解: M ? ? = ? ? ,即 ? ? = ? ? ,………………………………………4分 2? ? 2 ? ? ? 2 sin α + 2 cos α ? ? 2 ?

所以 ?

?cos α ? sin α = ?1, ?sin α + cos α = 1.

解得 ?

?cos α = 0, ……………………………………………6分 ?sin α = 1.

?0 ?1? ?1 0 ? ? 0 1? ?1 ?1 ? .由 M M = ?0 1 ? ,得 M = ? ?1 0 ? .………………………10分 0? ? ? ? ? 0 ?1 ? 0 1? 另解: M = =1 ≠ 0 , M ?1 = ? ?. 1 0 ? ?1 0 ? ?0 ?1? ? cos 90° ? sin 90° ? 另解: M = ? ?=? ? ,看作绕原点 O 逆时针旋转 90°旋转变换矩阵,于 ?1 0 ? ? sin 90° cos 90° ?

所以 M = ? ?1

是 M ?1 = ? ? sin(?90°)

? cos(?90°) ? sin(?90°) ? ? 0 1 ? = . cos(?90°) ? ? ?1 0? ? ? ?

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 . 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1:

ρ cos(θ + ) = 2 2 与曲线 C2: ?

π 4

? x = 4t 2 , ? y = 4t

(t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB.

解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y = 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 = 4 x ,…4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 = 0 ? y1 y2 = ?16 , y1 + y 2 = 4 .……………………………………6 分

∴ x1 x 2 + y1 y 2 = ( y1 + 4)( y 2 + 4) + y1 y 2 = 2 y1 y 2 + 4( y1 + y 2 ) + 16 = 0 .…………8 分
uuu uuu r r ∴ OA ? OB = 0 ,∴ OA ⊥ OB .………………………………………………………10 分

D.选修 4-5 不等式选讲 .
y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1+ 1+ 1 . yz zx xy x y z 证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以
同理可得 x y 1 x y 2 + = ( + ) ≥ .………………………4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 + ≥ , + ≥ , zx xy x xy yz y

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立.……………………………………7 分 x y z 1 1 1 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 + + ≥ + + .…10 分 yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分, 共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.一个暗箱中有形状和大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球,每次从中取出一只球,取到 白球得 2 分,取到黑球得 3 分.甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球. (1)写出甲总得分 ξ 的分布列; . (2)求甲总得分 ξ 的期望 E(ξ)
解: (1)甲总得分情况有 6 分,7 分,8 分,9 分四种可能,记 ξ 为甲总得分.
54 ? ? 1 ? ?? ? = ? 3 ? = 27 , P(ξ =7 ) = C 3 ? 2 ?? 3 ? = , 5? 125 5 ?? 5 ? 125 ? ?
2 3 3 2

P(ξ = 6)

36 8 ? ? 2? ? ? ? P(ξ = 8) = C 3 ? 2 ? ? 3 ? = , P(ξ = 9) = ? 2 ? = .………………………4 分 5 ? ? 5 ? 125 5? 125 ? ?

ξ
P(x= ξ )

6

7

8

9

27 125

54 125

36 125

8 125

……………………………………………7 分 (2)甲总得分ξ的期望[来源:Zxxk.Com]
54 36 8 36 E(ξ)= 6 × 27 + 7 × = .……………………10 分 + 8× + 9× 125 125 125 125

5

23.设数列{an}满足 a1=a,an+1=an2+a1, M = {a ∈ R n ∈ N*,| an | ≤ 2} .
(1)当 a∈(-∞,-2)时,求证: a ? M; (2)当 a∈(0, (3)当 a∈( 1 ]时,求证:a∈M; 4

1 ,+∞)时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论. 4

证明: (1)如果 a < ?2 ,则 a1 =| a |> 2 , a ? M . ………………………………………2 分

(2) 当 0 < a ≤ 时, an ≤ ( ?n ≥ 1 ) . 事实上, 〔〕当 n = 1 时, a1 = a ≤ . 设 n = k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) ,
2 ?1? 1 1 则〔〕对 n = k , ak ≤ ak ?1 + a ≤ ? ? + = . ?2? 4 2 2

1 4

1 2

1 2

由归纳假设,对任意 n∈N ,|an|≤ ( 3) 当 a >
1 时, a ? M .证明如下: 4

*

1 <2,所以 a∈M.…………………………6 分 2

对于任意 n ≥ 1 , an > a >

1 2 ,且 an +1 = an + a . 4

1 1 1 2 对于任 意 n ≥ 1 , an +1 ? an = an ? an + a = ( an ? ) 2 + a ? ≥ a ? , 2 4 4 则 an +1 ? an ≥ a ? 1 .[来源:Z#xx#k.Com] 4

1 所以, an +1 ? a = an +1 ? a1 ≥ n(a ? ) . 4 当n >

2?a 1 时, an +1 ≥ n(a ? ) + a > 2 ? a + a = 2 ,即 an +1 > 2 ,因此 a ? M . 1 4 a? 4
…………………………………………………10 分




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