第3章 线性电阻电路的一般分析法
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3.1 内容提要 3.2 重点、难点 3.3 典型例题 3.4 习题解答
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3.1 内容提要
1. KCL、KVL方程的独立性 图：点与线的集合。 电路的图：每一支路用一“线段”表示，每一节点用 一“点”表示。 回路：一个路径的起点和终点为同一点。 平面电路：若一个电路可画在一个平面上，且在非节 点处不相交，则称之为平面电路，否则为非平面电路。 网孔：内部不含其他支路的回路。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
KCL方程的独立性：若电路有n个节点，则有n-1个独 立的KCL方程。独立KCL方程对应的节点称为独立节点。
KVL方程的独立性: 若电路有n个节点，b条支路，则 有 L＝b-n+1个独立KVL方程。与独立KVL方程对应的回 路称为独立回路。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
2. 支路分析法 2b法：以支路电流和支路电压为变量列方程求解电路， 若电路有b条支路，则共有2b个变量。其中，KCL独立方程 n-1个，KVL独立方程b-n+1个，支路方程b个。 支路电流法：以支路电流为变量列方程求解电路的方法。 3. 节点分析法 节点电压：任意指定电路中某个节点为参考节点，则其 余节点相对于参考节点的电压称为节点电压。 以节点电压为变量列方程求解电路的方法称为节点分析 法。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
4. 网孔分析法和回路分析法 沿网孔连续流动的假想电流称为网孔电流。 以网孔电流为变量列方程求解电路的方法称为网孔分析 法。 以 L个独立回路电流为变量列方程求解电路的方法称为 回路分析法。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3.2 重点、难点
1. 支路电流法 (1) 标好支路电流参考方向； (2) 选择n-1个独立节点列KCL方程； (3) 选择b-n+1个独立回路列KVL方程，方程中的电阻、 电压用支路电流表示。 独立KVL回路的选择有三种方法。 方法一：每选一个回路，让该回路包含新的支路，选满L 个为止。 方法二：对平面电路，L个网孔是一组独立回路。 方法三：选定一棵树，每一连支与若干树支可构成一个 回路，称为基本回路(单连支回路)。L条连支对应的L个基本 回路是独立的。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 2. 节点分析法 若电路的节点数为n，则独立的节点数为n-1。只含电 阻和电流源的电路的节点方程为
?G11un1?G12un2 ?
? ?G21un1
?G22un2
?
?
?G u 1(n?1) n(n?1) ?is11 ?G u 2(n?1) n(n?1) ?is22
?
??G u ?G u ? ?G u ?i (n?1)1 n1
(n?1)2 n2
(n?1)(n?1) n(n?1) s(n?1)(n?1)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
含电压源、受控源电路节点电压方程的列写： (1) 当电路中含有理想电压源时，尽可能使电压源的一 端成为参考节点，这样电压源的电压就可以作为节点电压， 成为已知量，可以不用列该节点的节点方程； (2) 当电压源的电压不能成为节点电压时，设该电压源 支路的电流为i， 再列一个该电压源支路的补充方程。 (3) 当电路中含有受控源时，将受控源当作独立源用上 述(1)、(2)同样的方法列方程，然后列一个有关控制量的补 充方程。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3. 网孔分析法 若电路的网孔数为l，则只含电阻和电流源的电路的网 孔方程为
?R11im1 ? R12im2 ? ???R21im1 ? R22im2 ? ? ??Rl1im1 ? Rl2im2 ?
? R1liml ? us11 ? R2liml ? us22
? Rlliml ? usll
第3章 线性电阻电路的一般分析法
含电流源、受控源电路网孔电流方程的列写： (1) 当电路中含有理想电流源时，尽可能使电流源的电 流成为网孔电流，这样，网孔电流就成为已知量，可以不用 列该网孔的网孔方程； (2) 当电流源的电流不能成为网孔电流时，设该电流源 的两端电压为u ， 再列一个该电流源支路的补充方程。 (3) 当电路中含有受控源时，将受控源当作独立源用上 述(1)、(2)同样的方法列方程，然后列一个有关控制量的补 充方程。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3.3 典型例题
【例3-1】 图3-1所示电路中，已知R1=R2=10，R3=R5=10, R6=4，us3=20 V，us6=40 V，用支路电流法求解电流i5。
图 3-1
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 按如图3-2所示各支路电流i1、i2、i3、i4、i5、i6，列 出三个节点的KCL方程
? i1 ? i2 ? i6 ? 0
? ?
i
2
?
i3
?
i4
?
0
? ?
i
4
?
i5
?
i6
?
0
再列出三个回路的KVL方程
??i1R1 ?i2R2 ?i3R3 ?us3 ? 0 ???us3 ?i3R3 ?i4R4 ?i5R5 ? 0 ???i2R2 ?i4R4 ?i6R6 ?us6 ? 0
代入各已知量，联立以上六个方程得
i5=-0.956 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-2
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 支路电流法以六条支路电流为 基本变量，列出六个独立的KCL和KVL方程。六个变量， 六个独立方程，因此可以求解。
【例3-2】 试用网孔电流法求解图3-3所示电路中的电 流。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-3
第3章 线性电阻电路的一般分析法 解 选取网孔电流im1、im2、im3， 列网孔电流方程:
?(R1?R2?R3)im1?R3im2?R2im3 ??us3 ???R3im1?(R3?R4?R5)im2?R4im3?us3 ???R2im1?R4im2?(R2?R4?R6)im3 ??us6
代入已知量，解得
?im1 ??800/319A??2.508A ??im2 ??305/319A?0.956A ??im3 ??40/11A??0.636A
由此可得支路电流为
i6=im2=0.956 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 一般电路的网孔数远小于支路数， 所以为了简化计算，用网孔电流法，选网孔电流作为变量， 列回路独立的KVL方程求解。网孔电流是在一个网孔上连 续流动的假想电流，而支路电流是流经某一支路的实际电流， 所以支路电流可以通过流经它的网孔电流的叠加而得。本题 中只有一个网孔电流im2流经R5支路，所以i5=im2。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
例3-3 用回路电流求解图3-1所示电路中的电流i5。 解 取回路电流il1、il2、il3，如图3-4所示。列各回路的 KVL方程：
?(R1?R2 ?R3)il1?R3i12 ?R2il3 ??us3 ???R3i11?(R3?R4?R5)il2?R4il3 ??us3 ???R2i11?R4il2?(R2?R4?R6)il3 ??us6
第3章 线性电阻电路的一般分析法
代入已知量，得
?24il1 ? 4il2 ?10il3 ? ?20 ???4il1 ? 20il2 ?8il3 ? 20 ???10il1 ?8il2 ? 20il3 ? ?40
求解可得
? ?
i
l
1
?
?
?
800 319
?
? 2 .5 0 8 A
? ?
i
l
2
?
?
?
305 319
?
? 0 .9 5 6 A
? ?? i l 3
?
?
40 11
?
? 0 .6 3 6 A
由此可得支路电流为
i5=il2=-0.956 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-4
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 一般电路的独立回路数小于支路数， 采用回路电流法可以简化计算。回路电流法以回路电流作为 变量，列独立回路的KVL方程求解。回路电流是在一个回路 上连续流动的假想电流，而支路电流是流经某一支路的实际 电流，所以支路电流可以通过流经它的回路电流的叠加而得。 本题中只有一个电流il3流经R5支路，则有i5=il3。对于平面电路 图，按自然网孔取回路电流，可以取到全部的独立回路电流， 所以本题的回路电流法方程与上题的网孔电流法所有方程完 全相似。当电路中仅含电阻与电压源时，运用电阻的概念列 写回路电流方程很有规律，是一种常规的分析方法。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 【例 3-4】 用回路电流法求解图3-5所示电路中的电压U0。
图 3-5
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 注意当电路中含理想电流源支路时，可以取一个回 路经过该电流源，如图3-5所示，取Il3=3 A。
如图3-5所示，设回路电流为Il1、Il2、Il3，列各回路的 KVL方程：
?(2?8?40)Il1?40Il2 ?8Il3 ?136 ???40Il1?(40?10)Il2 ?10Il3 ??50 ??Il3 ?3
解方程得 Il1=8 A， Il2=6 A， Il3=3 A
所以支路电压U0为 U0=(Il1-Il2)×40=80 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 当电路中某些支路含有无伴电流 源，因其内电阻为无穷大，列写回路电流方程发生了困难时， 需要进行特殊处理。如本例中，取回路3的回路电流经过该 电流源，这表明Il3=3 A是已知量。
【例 3-5】 用回路电流法求解图3-6所示电路中的电压U。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-6
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 取回路电流Il1、Il2、Il3，如图3-6所示。列写各回路
的KVL方程：
解方程得
?(20 ? 4 ?10)Il1 ?10Il2 ? 4Il3 ? 0
? ?? ?
? ?
10I 4 I l1
l1 ? ?5
(5 Il2
?10)I ? (1 ?
l2
4
? ?
5Il3 5)Il
?U 3 ? ?420
? ?
Il1
?
I
?? Il2=0.1I(附加方程)
Il1=-5 A Il2=0.5 A Il3=-43.75 A 则支路电压U=276.25 V。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 可以把受控源当作独立源来处理。 图3-6所示电路中，受控源可以当作理想电流源处理，因此 可以取回路2经过受控电流源；如果要列回路2的KVL方程， 必须设受控源两端的电压为U。另外，必须补充回路电流与 受控源的控制量之间的关系式作为附加方程。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 【例 3-6】 列出图3-7(a)、(b)所示电路的节点电压方程。 解 (1) 在图3-7(a)中，任选一个节点为参考节点，其余 则为独立节点，注明①、②、③，如图3-7(a)所示。三个节 点的电压方程为
(G2 ?G3)un1?G2un2 ?G3un3 ??is1?is2 ?G2un1?(G2?G4)un2 ??is2?is5 ?G3un1?(G3?G6)un3 ??is5?is7
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-7
第3章 线性电阻电路的一般分析法
(2) 同理，在图3-7(b)中标明节点电压，则节点电压方 程为
?? 1
1?
1
?? ??
R2
?
R3
?
R4
? un1 ?
?
R4
un2
?
is1
?
is 5
?
? ?
?
?
1 R4
u n1
?
? ? ?
1 R4
?
1 R5
? ?un2 ?
?
?i
? ?i ?
u n1
?? R 2 ? R3
(补充的约束关系)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 (1) 图3-7(a)所示电路中只含有电 导和电流源，可以直接套用节点电压方程的一般形式；(2) 在图3-7(b)中有电流源is1与电阻R1串联支路，R1对其他支路 的电压、电流不起作用，该元件称为“虚元件”，不能列 入节点电压方程内; (3) 图3-7(b)中因含有受控源，需补充控 制量与节点电压之间的附加方程。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【例3-7】 列出图3-8所示电路的节点电压方程。 解 按图3-8所示标明各节点电压，则节点电压方程为
??????11?15?15?15???un1
????15?15???un2
?10?20 15
?
???????15?15???un1
????15?15?110???un2
?2?
20 5
整理可得
?1.6un1 ?0.4un2 ?6 ???0.4un1 ?0.5un2 ?6
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-8
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 应先把电压源与电阻串联支路 等效变换为电流源与电导并联支路，然后套用节点电压方 程的一般形式。
【例 3-8】 列出图3-9所示电路的节点电压方程，并 求出两个独立电流源发出的功率。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-9
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 列写各节点的节点电压方程如下：
?un1 ? 3i1
? ??? ?
1 0.4
un1
?
? ??
1 0.4
?
1 2
? 1???un2
?
un3
?
?2
?
6
?un3 ? 2.2
? ??i1
?
?
un2 2
解上述方程得
un1=-1.2 V， un2=0.8 V 因此，2 A电流源发出功率为
p发出=2×(un1+2×2-un2)=4 W 6 A电流源发出功率为
(实际发出4 W)
p发出=6×(un2-un3)=-8.4 W
(实际吸收8.4 W)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 在本题中，应注意两点：(1) 与2 A电流源串联的2 Ω电阻是“虚元件” ，不能出现在节点电 压方程中；(2) 题意指明求两个独立电流源的发出功率，所 以最好取电流源两端的电压参考方向与电流的参考方向非关 联，这样可给计算带来方便。计算结果为负，表明该电流源 实际是吸收功率；若结果为正，表明实际是发出功率。2.2V 的独立源一端接在参考节点，另一端接在节点③上，则 un3=2.2 V。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 【例3-9】 假设要实现图3-10所示电路的输出u0为： -u0=3u1+0.2u2，并已知R3=10 kΩ，求R1和R2。
图 3-10
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 在图3-10所示电路中标上节点电压un1、un2及支路电
流i1、i2、i3。根据理想运放的两条规则：un1=un2=0(虚短)，
i1+i2=i3(虚断)，可列出方程:
?u0 ? u1 ? u2
R3 R1 R2
即
?u0
?
R3 R1
u1
?R3 R2
u2
题目给定的已知条件为
-u0=3u1+0.2u2 比较上两式的系数，可得
R1?R 33?3.33kΩ ,R2?0 R .3 2?50kΩ
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 分析含有理想运算放大器的电阻 电路，一定会用到理想运放的两个规则：“虚短”与“虚 断”；而其他独立方程的列写方法与电阻电路的分析方法 一样。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 【例3-10】 图3-11所示电路起着减法器的作用，求输 出电压u0与输入电压u1、u2之间的关系。
图 3-11
第3章 线性电阻电路的一般分析法 解 令同相端的电压为u+，反相端的电压为u－，如图 3-11所示。应用理想运放两条规则：虚断i－=i+=0； 虚短u－ =u+，则列节点电压方程如下：
u 0? R 2? ? ? ?? ? ?R 1 1? R 1 2? ? ?u ?? R 1 1u 1 ? ? ? ?? R 2? ? ?R 1 1u 2? R 1 1u 1? ? ?? R R 1 2(u 2? u 1 )
【解题指南与点评】 分析计算含有理想运算放大器的 电阻电路时，应把“虚断”、“虚短” 概念巧妙地运用到 节点电压方程与回路电流方程等直流电流的分析方法中去。 从输出电压u0与输入电压u1、u2之间关系式可知，该电路起 着减法器的作用。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【例3-11】 含有运放的电阻电路如图3-12所示，试求： (1) Rin=∞，A≠∞； (2) Rin=∞，A=∞(理想运放) 两种情况下的 开路电压u0，从电压源us两端看进去的输入电阻Ri及输出电阻 Rout。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-12
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 (1) Rin=∞，A≠∞，为非理想运放。 ① 求开路电压u0。因为Rin=∞，所以i－=0，i+=0，i1=i2， 在图3-13中的1-2-4-1回路应用KVL，得
us ??R3i??ud?R1i1?R1i1?uA0
可得
i1
????us
?
u0 A
????
1 R1
?i2
(1)
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-13
第3章 线性电阻电路的一般分析法
在回路1-3-4-2-1中应用KVL，得
u0??R3i??ud?R2i2??R2i2?uA 0
(2)
联立式(1)、式(2)可得
? R2
u0
?
1?
R1 (R1 ?
R2)
us
(3)
A R1
第3章 线性电阻电路的一般分析法
② 求输入电阻Ri。将式(3)代入式(1)可得
于是有
i1
?
us R1
?
1 AR1
? ? ? ???1?
? R2 R1
(R1 ? R2 ) AR1
us
? ? ? ? ??
Ri
? us i1
?
R1
?
R2 1? A
第3章 线性电阻电路的一般分析法
③ 求输出电阻Rout。把独立源置零，在输出端口加电流 源(注意，只能加电流源，理由请看分析结果) 后的电路如
图3-14所示。对回路3-4-2-1-3应用KVL：
u0??R 3i??ud?R 2i2??R 2i2?u A 0 i??0 (4)
对节点1应用KCL，得
i1=i2， i－=0
(5)
对回路1-2-4-1应用KVL，得
-ud+R1i1=0
i+=0
(6)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
联立式(4)、(5)、(6)，可得
???1?(1?RA2 / R1)???u0 ?0
在 1?(1?R2 /R1) ?0的情况下，有u0=0，由此可得输 出电阻为 A
Rout
?
u0 is
?
0
上述结果就是输出口加电流源is的原因。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-14
第3章 线性电阻电路的一般分析法
(2) Rin=∞，A=∞(理想运放)时。
① 求开路电压u0。因为Rin=∞，所以i－=0，i+=0，i1=i2(虚
断)。 又因为A=∞，ud=0，u2=u1(虚短)，由此可得
u0=-R2i2， us=R1i1
于是
u0
?
?
R2 R1
us
式中的“-”号表示u0与us反相，且u0与us成正比例，因此称图
3-13为反相输入比例器电路。
② 求输入电阻Rin。由us=R1i1，可得Rin=us/is=0 ③ 求输出电阻Rout。由图3-14可得u0=-R2i2=-R2i1， 在回路 1-2-4-1中，i1=0，所以u0=0。由此可得输出电阻为Rout=u0/is=0。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
【解题指南与点评】 本题的第(1)小题是非理想运算放 大器应用于电路中的情况，利用Rin=∞这一条件可以推导出i －=0，i+=0，即“虚断”同样适用；由于A≠∞，因此不能利 用“虚短”，输入与输出之间关系式必须利用u0=Aud求解。 本题的第(2)小题是理想运算放大器的电阻电路分析。通过 理想与非理想运放的具体应用分析，有助于提高读者的分析 能力。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 【例3-12】 含有理想运放的电阻电路如图3-15所示，试 求u0与us的关系式。
图 3-15
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 应用理想运放的虚断概念，则i－=0，i+=0， i1=iC； 应用理想运放的虚短概念，节点①与节点②的电压相等，即
又因为
un1=un2=0， u0=-uC
uC ?uC(0_)?C1?0t_iCd?
i1 ?
us R1
，所以
u0
?
?uC
?
uC (0_)
?
1 C
t
?0
_
iC
d?
?
?uC
(0
_)
?
1 R1C
t
?0 _
usd?
第3章 线性电阻电路的一般分析法
对于初始储能为零的电容，uC(0－)=0，由此可得
u0
?
?
1 R1C
t
?0
_
usd?
即响应u0是激励us的积分。这表明图示电路能实现积分运算。
式中“-”号是反相输入的。
【解题指南与点评】 由于电容C的存在，由uC与iC之间 的积分关系，建立起响应u0与激励us的积分关系，从而实现 反相输入积分器功能。
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3.4 习题解答
3-1 用支路法求图3-16电路中的电流iR。 解 选节点1为独立节点，网孔为独立回路，设i1，i2是两 个支路电流，回路的绕行方向如图中所示。节点1的KCL方程 为
i1=i2+iR
(1)
网孔2的KVL方程为
40i2+80－10iR=0
(2)
对于网孔1，有
i1=－2 A
(3)
第3章 线性电阻电路的一般分析法 (1)、(2)、(3)联立
???i420?i2iR?1?0?iR2? ?80
解得 iR=0
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-16
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-2 用支路法求图3-17电路中的电流i。
图 3-17
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点1为独立节点，网孔为独立回路，网孔的绕行
方向如图中所示。节点1的KCL方程为
i1+i=i2
(1)
网孔1的KVL方程为
10i1-5i1-5=0
(2)
网孔2的KVL方程为
10i-5i1-25=0
(3)
(1)、(2)、(3)联立得
i1=1 A， i=3 A， i2=4 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-3 用支路电流法计算图3-18电路中的支路电流i1、i2 和i3。
图 3-18
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点1为独立节点，网孔为独立回路，网孔的绕 行方向如图中所示。节点1的KCL方程为
i1=i2+i3
(1)
网孔1的KVL方程为
3i1+45i2+2i1=40
(2)
网孔2的KVL方程为
4i3+1.5i3-45i2=64
(3)
(1)、(2)、(3)联立求解，得
i1=9.8 A， i2=-0.2 A， i3=10 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-4 用节点分析法求图3-19所示电路中的u1和u2。
图 3-19
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点3为参考节点，列出节点方程为
un1???1 2?1 4????un21 4?4?7
(1)
?14un1?un2???14?16????7
(2)
(1)、(2)联立得
解得
?3un1 ?un2 ? ?12 ???3un1 ? 5un2 ? 84
???uunn12
? ?
u2 u1
? 18V ? 2V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-5 用节点分析法求图3-20所示电路中的i1和i2。
图 3-20
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 先将原电路等效为如图3-21所示。选节点2为参考节 点，列出节点方程为
un1???14?112?16????6?3
(1)
解得un1=18 V，则
i1?u6 n1?16 8?3A ,i2?u4 n1?6?1.5A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-21
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-6 用节点分析法求图3-22所示电路中的u1、u2和u3。
图 3-22
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点1为参考节点，则
un3=u3， un2=u2， u1=u3-u2 列出节点方程为
化简得
???u2
? ??
1 2
?
1 4
? ??
?
1 4
u3
?
?5
?
3
?
? ??
?
u
2
?
1 4
?
? ??
1 4
?
1 4
? ??
u
3
?
6
?
5
?3u2 ? u3 ? ?32
? ?
?u
2
?
2u3
?
44
解得
u2=-4 V， u3=20 V， u1=24 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-7 图3-23所示电路中，如果元件x是一个上端为正极 的4 V独立电压源， 用节点分析法求电压u。
图 3-23
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点4为参考节点，列出节点方程为
un1=4 V
(1)
1 ? 3 un1
?
? ??
1 3
?
1 4
?
1 6
???un2
?
1 6 un3
?
0
(2)
?
1 6 un2
?
? ??
1 6
?
1 8
???un3
?
30 8
? ix
(3)
un3-un1=24 V
(4)
因为要求u，而u=un3-un2，所以只需求出un3、un2即可。式(1)、
(2)、(3)、(4)联立，可解得
从而
un1=4 V， un3=28 V， un2=8 V u=20 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法
3-8 在上题图中，如果元件x是一个上端为正极等于5i 的受控电压源，求u。
解 若x为5i的受控电压源，仍选节点4为参考节点，列 出节点方程为
un1=5i
(1)
?
1 3
un1
?
? ??
1 3
?
1 4
?
1 6
???un2
?
1 6
un3
?
0
(2)
?
1 6
un2
?
? ??
1 6
?
1 8
???un3
?
30 8
? ix
(3)
un3-un1=24
(4)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
辅助方程为
i ? un2
4
(5)
式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立解得
un1=40 V un2=32 V un3=24+un1=64 V u=un3-un2=64-32=32 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-9 用节点分析法求图3-24所示电路中的i。
图 3-24
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点3为参考节点，列出节点方程为
u
n1
? ??
1 2
?
1 3
? ??
?
1 3 un2
?
15
?
2i1
(1)
?
1 3
u n1
?
? ??
1 3
?
1 4
? ??
u
n
2
?
2i1
(2)
辅助方程为
i1
?
u n1 2
(3)
i ? un2
4
(4)
式(1)、(2)、(3)、(4)联立解得
un1=14 V， un2=32 V， i=8 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-10 用节点分析法求图3-25所示电路中的u和i。
图 3-25
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 原电路等效为如图3-26所示的电路。选节点3为参考
节点，列出节点方程为
u
n
1
? ??
1 6
?
1 2
? ??
?
ix
?
28 6
(1)
un2
? ??
1 4
?
1 12
? ??
?
? ix
(2)
辅助方程为
un2-un1=8 V
(3)
式(1)、(2)、(3)联立解得
un1=2 V， un2=10 V
所以
u?un2
?10V, i
?un1 2
?1A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-26
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-11 用节点分析法求图3-27所示电路中的uo。
图 3-27
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点4为参考节点，列出节点方程为
un1=50 V
(1)
?1 10
un1
?
? ??
1 30
?
1 10
? ??
u
n
2
?
?ix?
(2)
辅助方程为
? ??
1 39
?
1 78
? ??
u
n
3
?
ix?
(3)
un3-un2=-0.2u1
(4)
u1=un1-un2
(5)
式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立解得
所以
un2=30 V， un1=50 V， un3=26 V uo=un3=26 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-12 电路如图3-28所示，(1) 用节点分析法求独立源产 生的功率；(2) 通过计算其他元件吸收的总功率检验(1)中的 结果。
图 3-28
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 (1) 原电路等效为如图3-29所示电路。选节点3作为 参考节点，列出节点方程如下：
un1???115?510????510un2?5A
(1)
?5 1u 0 n 1?? ? ?5 1? 0 3 1? 0 1 1? 0 3 1? ? ?0 u n2??1 6i1 (2)
辅助方程为
i1
?
un1 ?un2 50
(3)
第3章 线性电阻电路的一般分析法 图 3-29
第3章 线性电阻电路的一般分析法
式(1)、(2)、(3)联立得
???1?3uun1n1??131uunn22
?5?150 ?0
解得
un2?51 ?415V,un1?5?1154?11V
因而，5 A电流源产生功率为
5?un1?5?5? 11 45?11?295W
第3章 线性电阻电路的一般分析法
(2)
其他元件吸收功率 ?
u
2 n1
15
?
50
?
? ??
un1 ? un2 50
?2 ??
?
u
2 n
2
30
?
u
2 n2
10
?
u
2 n
2
30
?
1 6
i1
?
u
n
2
? 295 W
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-13 用节点分析法计算图3-30所示电路中的uo值。
图 3-30
第3章 线性电阻电路的一般分析法 解 选节点4为参考节点，列出节点方程为
un1=4
(1)
un2???13?1????un3 ??7
(2)
辅助方程为 ?1 2un1?un2????1?1 2???un3?2ux
(3)
ux=un3-un1
(4)
式(1)、(2)、(3)、(4)联立，整理得
?4un2 ?3un3 ? ?21 ???2un2 ?un3 ? ?12
解得
un2=1.5 V， un3=9 V
所以
uo=1.5 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-14 用网孔分析法或回路分析法求出图3-31所示电路 中的ig。
图 3-31
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选定两个网孔的电流方向都为顺时针，列出网孔方 程为
(2+6+4)im1-(6+4)im2=125
(1)
-(6+4)im1+(6+4+13+12+15)im2=0
(2)
解得
所以
im1=12.5 A， im2=2.5 A ig=im1=12.5 A
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-15 用网孔分析法或回路分析法求图3-32所示电路中 4 Ω电阻上消耗的功率。
图 3-32
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 三个网孔电流如图中所示，列出网孔方程如下：
im1
?
u1 8
(1)
2im2-2im3=u1
(2)
-4im1-2im2+(4+2+20)im3=0
(3)
辅助方程为
im2-im1=7
(4)
u1=(im2-im3)×2
(5)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立得
?4im1 ? im2 ? im3 ? 0 ???4im1 ? 2im2 ? 26im3 ? 0 ??im2 ? im1 ? 7
解得 im1=2 A， im2=9 A， im3=1 A
所以4 Ω电阻消耗的功率为 (im1-im3) 2×4=4 W
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-16 用回路法求图3-33中的电流iR。
图 3-33
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选择如图中所示三个回路电流，列出回路方程：
il1(1 0? 4? 1 0 )? 4 il2? 1 0 il3?? 2 0 (1)
? 4il1?il2(8?8?4)?8il3?20 (2) 10il1?8 il2?(2?8? 10)il3?? 40 (3)
式(1)、(2)、(3)联立得
?24il1 ? 4il2 ?10il3 ? ?20
(4)
???4il1 ? 20il2 ? 8il3 ? 20
(5)
??10il1 ? 8il2 ? 20il3 ? ?40
(6)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
整理得
???111166iill22
?58il3 ?80il3
?100 ? 20
解得
il2??1 41 0A ,il3?25?1 21 9? ?2 10 1?29A
从而
iR
?il2
?il3
?
25?11?20?29?40?29 11?29
??305 ??0.956A 319
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-17 图3-34所示电路：(1) R=4 Ω；(2) R=12 Ω，用网孔 法分别求两种情况时的i1和u。
图 3-34
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程如下：
4im1=-3+3i1
(1)
Rim2=3-9
(2)
i1=im1-im2
(3)
当R=4 Ω时，解得
im1=1.5 A， im2=-1.5 A， i1=3 A， u=4im1=6 V 当R=12 Ω时，解得
im1=-1.5 A， im2=-0.5 A， i1=-1 A， u=im1×4=-6 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-18 用网孔法求出图3-35所示电路中产生功率的元件， 并求所产生的总功率。
图 3-35
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程为
im1(17.5+2.5+5)-5im2-2.5im3=0
(1)
-5im1+(5+7.5)im2-7.5im3=125-50
(2)
im3=0.2u1
(3)
辅助方程为
u1=(im2-im1)×5
(4)
第3章 线性电阻电路的一般分析法 式(1)、(2)、(3)、(4)联立得
???1im11im?1
? 3im2 2im2 ?
?0 30
解得 im1=3.6 A， im2=13.2 A， im3=9.6 A
可见，125 V电压源是产生功率元件，产生功率为 125×im2=1650 W
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-19 用网孔法求图3-36所示电路中受控电压源产生的 功率。
图 3-36
第3章 线性电阻电路的一般分析法 解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程为
?(15?35?100)im1?100im2?15im3??125V ???100im1?(100?25?85)im2?25im3?125V ???15im1?25im2?(15?25)im3??2.65u1
辅助方程为
u1=(im1-im2)×100
第3章 线性电阻电路的一般分析法
整理得
???329100iimm11
?226im2 ?334im2
??200 ??200
解得
从而
im1=1.2 A， im2=2 A， im3=7 A
受控源产生功率为
u1=-80 V
2.65×(-80)×im3=-1484 W 即产生的功率为1484 W。
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-20 电路如图3-37所示，用网孔法求出2 Ω电阻消耗的 功率。
图 3-37
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程如下
(2?25?3)im1 ?25im2 ?2im3 ?15
(1)
?25im1 ?(1?4?25)im2 ?im3 ??10
(2)
im3 ?1.2u1
(3)
辅助方程为
u1=(im1-im2)×25
(4)
式(1)、(2)、(3)、(4)联立得
??6im1 ?7im2 ? 3 ???11im1 ?12im2 ? ?2
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解得
im1=10 A， im2=9 A， im3=30 A， u1=25 V
因此，2 Ω电阻消耗的功率为
(im1?im3)2?2?800W
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-21 用回路分析法求图3-38所示电路中的u。
图 3-38
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选择如图中所示的三个独立回路，列出回路方程为
解得
il1(8+4)+4il3=18
(1)
il2(2+4)-4il3=18
(2)
il1×4-4il2+(4+4+4)il3=0
(3)
il1
?54A, il2
?72A, il3
?3A 4
从而
u=4×il3=3 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-22 电路如图3-39所示，用尽量少方程的分析法(回路 法或节点法)求u。
图 3-39
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程为
(6+4+8)im1-4im2-6im3=12
(1)
im2=-3 A
(2)
-6im1-3im2+(6+3)im3=-12
(3)
式(1)、(2)、(3)联立解得
从而
im1=-1 A， im2=-3 A， im3=-3 A
u=(im1-im2)×4=(-1+3)×4=8 V
第3章 线性电阻电路的一般分析法 3-23 计算图3-40所示电路中20 V电压源产生的功率。
图 3-40
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解 选节点5为参考节点，列出节点方程为
u
n
1
? ??
1 20
?
1 2
? ??
?
1 2
un2
?
?ix
(1)
un2 ? 20V
(2)
?un2
?
un3
? ??
1
?
1 40
?
1 4
? ??
?
1 4
un4
?
0
(3)
?
1 4
un3
?
? ??
1 4
?
1 80
? ??
u
n
4
?
? 3 .1 2 5u 2
?
ix
(4)
第3章 线性电阻电路的一般分析法
辅助方程为
u 2 ? u n2 ? u n3
(5)
i1
?
u n3 40
(6)
u n1 ? u n 4 ? 3 5 i1
(7)
式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)联立得
?11un1 ?30un3 ?21un4 ? 600 ??51un3 ?10un4 ?800 ??40un1 ?40un4 ?35un3 ?0
第3章 线性电阻电路的一般分析法
解得 un1=-20.25 V， un3=10 V， un4=-29 V
设20 V电压的电流为i，方向向下，则
i ?un1?un2 ?un3 ?un2
2
1
??20.125?10??30.125 A
则20 V电压源产生的功率为30.125×20=602.5 W。