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第三章 平面任意力系

平面任意力系
各个力的作用线在同一平面内, 但不汇交于一点,也不都平行的力 系称为平面任意力系

§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力的平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩

平 §3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理

面 任

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

意 §3–6 平面平行力系的平衡 力

系 §3–7 物体系的平衡 与静不定问题的概念

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

§3–1 力对点之矩
一、力矩的定义——力F 的大小乘以该力作用线到 某点O 间距离d,并加上适当正负号,称为力F 对 O 点的矩。简称力矩。 B
O dF
A
二、力矩的表达式: MO?F???Fd
三、力矩的正负号规定:力使物体绕矩心逆时针转 动时,力矩取正值,反之为负。
四、力矩的单位:与力偶矩单位相同,为 N.m。

§3–1 力对点之矩
五、力矩的性质: 1、力沿作用线移动时,对某点的矩不变 2、力作用过矩心时,此力对矩心之矩等于零 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩

§3–1 力对点之矩

六、合力矩定理

y
Fy

B
F

A y

Fx

Ox

x

m o?F??xy F ?yx F

平面汇交力系的合力对平面内任一之矩等

于各分力对同一点之矩的代数和

§3–2 力的平移定理

一、力的平移定理:

把力F 作用线向某点O 平移时,须附加一个力偶, 此附加力偶的矩等于原力F 对点O 的矩。

证明:
F

F?
F

Od A = O d A

=

F?
Ol A

F??
F ??? F ???F l?F? dm 0?F?

§3–2

§3–2 力的平移定理
二、几个性质:
1、当力平移时,力的大小、方向都不改变,但附加
力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置
的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的,即作用在同一平面内的 一个力和一个力偶,总可以归纳为一个和原力大 小相等的平行力。
3、力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。

§3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
一、力系向给定点O 的简化
应用力的平移定理,可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定
点O 。从而这力系被分解为平面平行力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。

F1

F2

A1 O

A2

A3

F1?

= F2?

l1

l2

O
l3

=

F3

F3?

R? O
LO

§3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩

平面汇交力系F1?、 F2?、 F3?的合成结果为一作用 点在点O 的力R?。这个力矢R? 称为原平面任意力系的

主矢。

R? ?F1??F2??F3?

?F1 ?F2 ?F3

附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力

偶,这力偶的矩用LO 代表,称为原平面任意力系对 简化中心 O 的主矩。

L0?l1?l2?l3
?mo?F1??mo?F2??mo?F3?

§3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
推广: 平面任意力系对简化中心O 的简化结果
主矢:
? R ?? F 1 ? F 2 ? ? ? F n? F
主矩:
? L 0 ? m o ? F 1 ? ? m o ? F 2 ? ? ? ? m o ? F n ? ? m o ? F ?
结论: 平面任意力系向面内任一点的简化结果,是
一个作用在简化中心的主矢;和一个对简化中心 的主矩。

§3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
二、几点说明: 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化 中心的位置无关。
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置
有关。因此,在说到力系的主矩时,一定要 指明简化中心。

§3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩

§3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩

三、主矢、主矩的求法:

1、主矢可接力多边形规则作图求得,或用解析
法计算。
?? ? ?? ? R ?R x 2? R y 2? F x2? F y2
方向余弦:

co?R s,x????Fx? co?R s,y????Fy?

R

R

2、主矩Lo可由下式计算:

? L 0 ? m o ? F 1 ? ? m o ? F 2 ? ? ? ? m o ? F n ? ? m o ? F ?

§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理

简化结果的讨论

1、R?=0,而LO≠0,原力系合成为力偶。这时力系主 矩LO 不随简化中心位置而变。
2、LO=0,而R?≠0,原力系合成为一个力。作用于点O 的力R?就是原力系的合力。
3、R?≠0,LO≠0,原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。

说明如下:
R

LO

O

=

R R??
Lo
OR A

? =

Lo R
O

R??
A

AO?L0 ? m0?F?
RR

R?

§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
4、 R?=0,而LO=0,原力系平衡。
综上所述,可见:
⑴、平面任意力系若不平衡,则当主矢主矩均不 为零时,则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡,则当主矢为零而主 矩不为零时,则该力系可以合成为一个力偶。

§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理

例题 3-1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用 着有四个力:F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN(如图), 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果,以及
该力系的最后的合成结果。

解:取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果:
①求主矢R?:

2m

y

F2

60°

A

F1

O

3m

B

F3

F4 C 30° x

? R x ??F x ? ? F 2 c6 o ? ? F 0 3 ? s F 4 c3 o ? ? 0 0 . 5 s 9

§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理

? R?y ? Fy?F1?F2si6n0??F4si3n0?

?1?2? 3?3?1?0.768

y

F2

60°

A

22

B

F3

2m

? R ??R x ?2?R ?y2?0.794 F1

co?R s?、 x??Rx??0.614 O

3m

R?

? ? ?R ?, x ?? 5? 6 '2

y

co?R s?、 y??R?y ?0.789 A

R?

R?

? ? ?R ?,y ?? 3? 5 7 ' 4

O

F4 C 30° x
B

C

x

§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理

② 求主矩:
L O?? m o?F ?

y

F2

60°

A

B

F3

2m

? 2 F c 6 ? o ? 2 0 F s ? 3 F s3 i ? ? n 0 0 . 5F1

2

34

O

3m

(2)、求合成结果:合成为
y
一个合力R,R的大小、方向与
A
R’相同。其作用线与O点的垂

F4 C 30° x
B

直距离为: d?Lo ?0.51m R?

Lo

R?/ R

O d

C

x

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件: 力系的主矢等于零 ,又力系对任一点的主矩也
等于零。 平衡方程:
F ? F x ? 0 ,? F y ? 0 ,? m o ?? ? 0
F F 平衡方程其他形式: ? F x ? 0 ,? m A ?? ? 0 ,? m B ?? ? 0 A、B 的连线不和x 轴相垂直。 F F F ? m A ?? ? 0 ,? m B ?? ? 0 ,? m C ?? ? 0 A、B、C 三点不共线。

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

例题 3-2 伸臂式起重机如图所示,匀质伸臂AB 重

P=2200N,吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。 有关尺寸为:l = 4.3m,a = 1.5m,b = 0.9m,c =

0.15m, α=25°。试求铰链A 对臂AB 的水平和垂直

反力,以及拉索BF 的拉力。

y

F

c

C

A

αB

QD
a

QE
b

l

FAy
A

FAx D

T
α
CE

B x

解:

QD P

QE

1、取伸臂AB为研究对象

2、受力分析如图

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

3、选列平衡方程:

?Fx ?0: ?Fy ?0:

F Ax ?Tco ?? s0
? F A? yQ D ? P ? Q E ? T si? n 0

? m A?F??0:

? ? ? Q D ?a ? P ?2 l? Q E ?l? b ?? T co ?c ? s T si?ln ? 0 y

4、联立求解,可得:

T = 12456 N FAx= 11290 N

FAy
A

FAx D

T

C



B x

FAy= 4936 N

QD P

QE

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

例题 3-3 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作

用,已知载荷集度q = 100N/m,力偶矩大小M =

500 N?m。长度AB = 3m,DB=1m。求活动铰支D 和

固定铰支A 的反力。

q

M

A

D

B

2m

1m

y

M

NAy

Q

A
NAx

CD

B

x

解:

ND

1、取梁AB为研究对象。

2、受力分析如图,其中Q=q.AB=100×3=300N;作

用在AB的中点C 。

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

3、列平衡方程:

?Fx ?0:

NAx ? 0

?Fy ?0:

NAy?Q?ND?0

? m A?F??0: ?23Q?2ND?M?0

4、联立求解:

y

M

NAy

Q

ND= 475 N NAx= 0

A
NAx

C

D

B

x

ND

NAy= -175 N

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例题 3-4 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机水 平匀速直线飞行时,作用在机翼上的升力 T= 27 kN
,力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处 的约束力。

T

A

C

B

770

Q

2083

2580

解:

NAy

T

NAx

A

C

B

MA Q

1、取机翼为研究对象。

2、受力分析如图.

§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3、列平衡方程:

?Fx ?0:

NAx ? 0

?Fy ?0:

NAy?Q?T?0

? m A?F??0: M A? Q ?A? C T ?A? B 0

4、联立求解:

MA=-38.6 kN?m (顺时针) NAy

NAx= 0

A

NAx
C

T
B

NAy=-19.2 kN (向下)

MA Q

§3–6 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件:
力系中各力的代数和等于零 ,以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程:
F 一 矩 ? F y? 0 ,式 ? m O ??? : 0 F F 二? 矩 m A ??? 0 式 ,? m B ?: ?? 0
且A、B 的连线不平行于力系中各力。
由此可见,在一个刚体受平面平行力系作用而平 衡的问题中,利用平衡方程只能求解二个未知量。

§3–6 平面平行力系的平衡
例题 3-5 一种车载式起重机,车重Q = 26kN,起重机伸臂 重G= 4.5kN,起重机的旋转与固定部分共重W = 31kN。尺寸
如图所示,单位是m,设伸臂在起重机对称面内,且放在图示
位置,试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。

W G

P

A

Q

B

解:

NA 1.8

2.0 2.5 3.0
NB

1、取汽车及起重机为研究对象。

2、受力分析如图。

§3–6 平面平行力系的平衡

3、列平衡方程:

?Fy ?0:

N A ? N B ? P ? Q ? G ? W ? 0

? m B?F??0: ? 5 .5 P ? 2 .5 G ? 2 Q ? 3 .8 N A ? W0

4、联立求解:

G

N?1?2Q?2.5G?5.5P?
A 3.8

A

Q

B

5、不翻条件:NA≥0 NA 1.8

2.0 2.5
NB

? 由上 P ? 式 1?2 Q 可 ? 2 .5 G 得 ?? 7 .5 kN

5 .5

故最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN

P
3.0

§3–7 物体系的平衡与静不定问题的概念
一、几个概念: 1、物体系 ——由若干个物体通过一定约束组成的系统 2、外 力 ——物体系以外任何物体作用于该系统的力 3、内 力——物体系内部各物体间相互作用的力 二、物体系平衡方程的数目:
由n个物体组成的物体系,总共有不多于3n个独立
的平衡方程。

§3–7 物体系的平衡与静不定问题的概念
三、静定与静不定概念: 1、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少 于独立平衡方程数目时的问题。
2、静不定问题 —— 当系统中未知量数目多于独立 平衡方程数目时,不能求出全部未知量的问题。

静定

静不定

静不定

静不定

物体系的平衡问题
例题 3-6 三铰拱桥如图所示,由左右两段借铰链C 连 接起来,又用铰链A、B 与基础相联结。已知每段重 G=40 kN,重心分别在D、E 处,且桥面受一集中载荷 P=10 kN。设各铰链都是光滑的,试求平衡时,各铰链
中的力。尺寸如图所示,单位是m。

P3

C

D

E

A
解:

NAx
B

1、取AC 段研究,受力分析如图。

NCy

D

C NCx

A
NAy

物体系的平衡问题
列平衡方程:

?F?0: x

NAx?NCx?0

?Fy ?0: NAy?NCy?G?0
?m C?F??0: 6N Ax ?6N Ay ?5G ?0 NAx

2、再取BC 段研究,受力分析如图。

NCy

D

C NCx

A
NAy

列平衡方程:
?Fx ?0: NC' x?NBx?0

N' Cy

P

N' Cx

C

E

?Fy ?0: NC ' y?NBy?P?G?0
?mC?F??0: ? 3 P ? 5 G ? 6 N B? y6 N B? x0

N Bx B N By

物体系的平衡问题

NCx 和 N?Cx、 NCy 和 N?Cy是二对作用与反作用力。

?N C? xN C ' ,x

N ? N '
Cy Cy

联立求解:可得
NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN NAy= 42.5 kN NBy= 47.5 kN NCy= 2.5 kN

物体系的平衡问题
例题 3-7 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连,A端为固

定端,E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知:

l =8 m,P=5 kN,均布载荷集度q=2.5 kN/m,力偶矩 的大小L= 5kN·m,试求固端A、铰链C 和支座E 的反

力。

P

q

L

Q1
L

E AHB C D

CH

E

l/8 l/8 l/4 l/4 l/4

NC l/8 3l/8

NE

解:

Q1

?

q

?

l 4

1、取CE 段为研究对象,受力分析如图。

物体系的平衡问题

列平衡方程:

Q1
L

?Fy ?0: NC?q?4l ?NE ?0

CH

E

NC l/8

3l/8

NE

? m C?F ??0: ?q?4 l?8 l?L?NE?2 l ?0

联立求解:可得

P

Q2

LA

NE=2.5 kN (向上) NC=2.5 kN (向上)

AH
NA l/8 l/4

C

N?

l/8

C

2、取AC 段为研究对象,受力分析如图。

Q2

?

q?

l 4

物体系的平衡问题

列平衡方程:

P

Q2

LA

?F ?0: y

NA?NC ? ?P?q?4l ?0

? m ?F ??0: A

AH
NA l/8 l/4

C

l/8

N

?
C

L A?P ?8 l?q?4 l?3 8 l?N C ??2 l?0

Q2

?

q?

l 4

联立求解:可得

LA= 30 kN·m NA= -12.5 kN

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例
一、概念:
1、桁架 —— 一种由若干杆件彼此在两端用铰链 连接而成,受力后几何形状不变的结构。 如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例
2、平面桁架——所有杆件都在同一平面内的桁架。 3、节 点—— 桁架中杆件的铰链接头。 4、杆件内力—— 各杆件所承受的力。 5、静定桁架 —— 如果从桁架中任意抽去一根杆
件,则桁架失去形状的固定性。

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例
二、桁架计算的常见假设: 1、桁架中的杆件都是直杆,并用光滑铰链连接。 2、桁架受的力都作用在节点上,并在桁架的平面内。 3、桁架的自重忽略不计,或被平均分配到杆件两端
的节点上,这样的桁架称为理想桁架。 三、桁架结构的优点:
可以充分发挥材料的作用,减轻结构的重量, 节约材料。

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例
四、计算桁架杆件内力的方法: 1、节点法 -- 应用共点力系平衡条件,逐一研究桁
架上每个节点的平衡。 2、截面法 -- 应用平面任意力系的平衡条件,
研究桁架由截面切出的某部分的平衡。

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

例题 3-8 如图平面桁架,求各杆内力。已知铅垂力

P1=4 kN,水平力P2=2 kN。

F

E P2

a

A

a

a

aB

D

C

P1

解法1:(节点法)

NAy
A
NAx

F

E P2

a

NB

a

a

a

D

C

B

P1

1、取整体为研究对象,受力分析如图.

列平衡方程:
?Fx ?0: NAx?P2 ?0 ?Fy ?0: NB?NAy?P1?0

联立求解: NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN

? m A?F??0: ? P 1 ?a ? P 2 ?a ? N B ?3 a ? 0

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN 2、取节点A,受力分析如图。
列平衡方程:
?Fx ?0: N A? xS2?S 1co 4?s5 ?0

A
NAx

S1 S2

NAy

?Fy ?0: NAy?S1co4s?5?0 NAy

联立求解:

A

NAx

F 4 E P2

1 a3

5 a

7a

8
a

NB

2 D6C 9 B

P1

S1 ??2 2 S2 ? 4

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

3、取节点F,受力分析如图。

列平衡方程:

F

S4

?Fx ?0:
S4?S1co 4s ?5 ?0

?Fy ?0:

S3?S1co4s?5?0
联立求解:

NAy

A

S4 ??2

NAx

S3 ? 2

S1

S3

F 4 E P2

1 a3

5 a

7a

8
a

NB

2 D6C 9 B

P1

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

4、取节点D,受力分析如图。

列平衡方程:

S3

S5

D

?Fx ?0:

S2

? S 2? S 6? S 5co 4?s ? 50

?Fy ?0:

S6 PD

?P D ?S 3?S 5co 4?s5 ?0

联立求解:
S5 ? 2 2

NAy

F

1

A

a3

4 E P2

5 a

7a

8
a

NAx

2 D6C 9

NB
B

S6 ? 2

P1

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

5、取节点C,受力分析如图。

列平衡方程:

S7

?Fx ?0: S9 ?S6 ?0

C

S6

S9

?Fy ?0:
解得:

S7 ? 0
S9 ? 2

NAy
A
NAx

F 4 E P2

1 a3

5 a

7a

8
a

NB

2 D6C 9 B

P1

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例
6、取节点B,受力分析如图。

列平衡方程: ?Fx ?0: S9?S8co4s?5?0

S8

NB

B
S9

?Fy ?0: S8si4 n?5?NB?0

联立求解:

NAy

S9 ??2 2

A

S8 ??2 2

NAx

F 4 E P2

1 a3

5 a

7a

8
a

NB

2 D6C 9 B

P1

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

解法2:(截面法)

1、取整体为研究对象,受力分析如图。

列平衡方程: ?Fx ?0: NAx?P2 ?0
?Fy ?0: NB?NAy?P1?0

NAy
A
NAx

F 4 E P2

1 a3

5 a

7a

8
a

NB

2 D6C 9 B

P1

? m A?F??0: ? P 1 ?a ? P 2 ?a ? N B ?3 a ? 0

联立求解 NB=2 KN NAx=-2kN NAy=2 KN

§3–8 平面静力学在工程中的应用举例

2、取左部分为分离体,受力分析如图。

列平衡方程:

NAy

F S4 S5

?Fx ?0: ?Fy ?0:

S 6? N A? xS 4? S 5c4 o?? s 5 0

A
NAx

N A? yP 1?S5co 4? s5 ?0

a

a

D S6

P1

?MD?0: ?S4?a?NAy?a?0
联立求解:
S5 ? 2 2 S6 ? 2

NAy
A
NAx

F 4 E P2

1 a3

5 a

7a

8
a

NB

2 D6C 9 B

P1

S4 ??2

小结
1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会用解 析法求主矢和主矩。熟知力系简化的结果
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程 的几种形式
3、熟练计算在平面任意力系作用下物体和物体 系的平衡问题
4、理解简单桁架的简化假设,掌握计算其应力的 节点法和截面法

作业
2—14、15、16、17、18、19、20、21、 22、23、24、25

谢谢!




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